Question

设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，Sn+1=4an+2.求数列{an}的通项公式 （求详细解答过程）

Answer 1

Sn+1=4an+2
Sn=4a（n-1）+2
相减得Sn+1-Sn=4an+2-4a（n-1）-2
an+1=4an-4a（n-1）
an+1-2an=2(an-2an-1)

设bn=an+1-2an
a2=5
b1=5-2=3
bn=3*2^(n-1)
an+1-2an=3*2^(n-1)
an-2an-1=3*2^(n-2)
2(an-1-2an-2)=3*2^(n-2)
...
2^(n-2)(a2-2a1)=3*2^(n-2)
上面相加得
an-2^(n-1)=3(n-1)*2^(n-2)
所以an=3(n-1)2^(n-2)+2^(n-1)
补充：
an-2^(n-1)=3(n-1)*2^(n-2)
所以an=3(n-1)2^(n-2)+2^(n-1)
an=(3n-1)2^(n-2)

追问

看不懂- -

追答

由已知，a1+a2=4a1+2,故a2=5
因Sn+1=4an+2
当n≥2时，Sn=4a(n-1)+2
Sn+1减Sn得a(n+1)=4an-4a(n-1)，所以a(n+1)-2an=2(an-2an-1)
所以{an-2an-1}是以3为首项，2为公比的等比数列，
故an-2an-1=3×2^（n-1)
an/2^n-an-1/2^(n-1)=3
故{an/2^n}是以1/2为首项，3为公差的等差数列，所以an/2^n=1/2+3(n-1)=3n-5/2
an=(3n-5/2)*2^n

Answer 2

等比数列定义an+1=qan
q不为零，且各项不为零
等差数列定义an+1-an=p
p为常数
你上面提到的两个问题分别把{an-2an-1}、{an/2^n}看成an

追问

然后呢

Answer 3

S(n-1)+1=4a(n-1)+2 n>=2
两式相减得an=4an-4a(n-1)
所以an=4/3*a(n-1)

追问

• 答案不对