Question

高一不等式证明求助！

n是正整数，证明:n[(n+1)^(1/n)-1]＜1+1/2+1/3+…+1/n＜n-(n-1)n^(1/1-n)
应该是≤

Answer 1

对2, 3/2, 4/3,..., (n+1)/n使用n元均值不等式得:
2+3/2+4/3+...+(n+1)/n ≥ n·(2·3/2·4/3·...·(n+1)/n)^(1/n) = n·(n+1)^(1/n).
故n·((n+1)^(1/n)-1) ≤ 2+3/2+4/3+...+(n+1)/n-n
= (2-1)+(3/2-1)+(4/3-1)+...+((n+1)/n-1)
= 1+1/2+...+1/n.

类似的, 对1/2, 2/3, 3/4,..., (n-1)/n使用n-1元均值不等式得:
1/2+2/3+3/4+...+(n-1)/n ≥ (n-1)·(1/2·2/3·3/4·...·(n-1)/n)^(1/(n-1)) = (n-1)·n^(1/(1-n)).
故n-(n-1)·n^(1/(1-n)) ≥ n-(1/2+2/3+3/4+...+(n-1)/n)
= 1+(1-1/2)+(1-2/3)+(1-3/4)+...+(1-(n-1)/n)
= 1+1/2+...+1/n.

综合即得n·((n+1)^(1/n)-1) ≤ 1+1/2+...+1/n ≤ n-(n-1)·n^(1/(1-n)).
另外, 左端当n > 1时均值不等式不能成立等号, 而右端当n > 2时均值不等式不能成立等号.
因此n > 2时成立n·((n+1)^(1/n)-1) < 1+1/2+...+1/n < n-(n-1)·n^(1/(1-n)).

Answer 2

构造函数法证明。
注意到ln(n+1)=ln[(n+1)/n]+ln[n/(n-1)]+...+ln(3/2)+ln(2/1),
而n/(n+1)=1-1/(n+1)=(1-1/2)+(1/2-1/3)+...+[1/n-1/(n+1)].
于是我们根据要证明的表达式，两边取通项(x-->1/n)构造函数
f(x)=x-ln(1+x)-(1/2)[x-x/(x+1)],x>0,
求导易得f'(x)=x^2/[2(x+1)^2]>0,x>0.
于是f(x)在x>0上单调递增，又f(x)可在x=0处连续，则f(x)>f(0)=0,x>0得x-ln(1+x)-(1/2)[x-x/(x+1)]>0即x>ln(1+x)+(1/2)[x-x/(x+1)],x>0
.再取1/n(>0)替换x有
1/n>ln[(n+1)/n]+(1/2)[1/n-1/(n+1)]
将此不等式式中的n依次从1取到n，累加得
1+1/2+1/3+...+1/n>{ln[(n+1)/n]+ln[n/(n-1)]+...+ln(3/2)+ln(2/1)}+(1/2){(1-1/2)+(1/2-1/3)+...+[1/n-1/(n+1)]}=ln(n+1)+(1/2)[1-1/(n+1)]=ln(n+1)+n/[2(n+1)]，