Question

设lim [(1+sin2x^2)^(1/x^2) -e^2] /x^n =a (a不等于0,x趋近于0)求n和a的值

Answer 1

因为x趋于0，sin2x/2x极限是1
所以(x/2)/sin2x极限是1/2
所以e^(ax)-b和x/2是等价无穷小
e^(ax)=1+ax/2+o(x)
所以1+ax/2-b=x/2
所以a=1,b=1

Answer 2

lim{
(1+sin2x^2)^(1/x^2)
-e^2
}
/x^n
=lim{
e^[ln(1+sin2x^2)
/x^2]
-e^2}
/x^n
=e^2*
lim{
e^【ln(1+sin2x^2)/x^2-2】
-1}/x^n
【lim
ln(1+sin2x^2)/x^2-2=0
又
e^t-1~t
t->0
，
等价无穷小
代换】
=e^2
lim
[
ln(1+sin2x^2)/x^2-2]
/x^n
=e^2
lim
{
【sin2x^2
-(sin2x^2)^2/2+O(x^4)
】/x^2-2]
/x^n
}
【泰勒展式】
=e^2
lim
{
【2
-2x^2+O(x^2)-2】/x^n
}
=e^2
lim
{
【
-2x^2+O(x^2)】/x^n
}
=a
不等于
0
所以：x^n
是x^2的
同阶无穷小
，n=2
a=-2e^2