Question

已知函数f（x）=lnx+kx，k∈R．（1）若k=1，求函数f（x）的单调区间；（2）若f（x）≥2+1?ex恒成立，求实

已知函数f（x）=lnx+kx，k∈R．（1）若k=1，求函数f（x）的单调区间；（2）若f（x）≥2+1?ex恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

（1）若k=1，则f（x）=lnx+

1

x

的定义域为（0，+∞），
f′（x）=

1

x

?

1

x2

=

x?1

x2

，
由f′（x）=

x?1

x2

＞0，解得x＞1，
f′（x）=

x?1

x2

＜0，解得0＜x＜1，
即函数f（x）的单调增区间为（1，+∞），减区间为（0，1）；
（2）若f（x）≥2+

1?e

x

恒成立，
即lnx+

k

x

≥2+

1?e

x

，
则k≥2x+1-e-xlnx，
设g（x）=2x+1-e-xlnx，
则g′（x）=2-（1+lnx）=1-lnx，
当x＞e，则g′（x）=1-lnx＜0，此时函数单调递减，
当0＜x＜e，则g′（x）=1-lnx＞0，此时函数单调递增，
即当x=e时，g（x）取得极大值，同时也是最大值g（e）=2e+1-e-e=1，
则k≥1，
即k的取值范围是k≥1．