已知函数f(x)＝1+lnxx．（Ⅰ）若函数在区间(a，a+12)（其中a＞0）上存在极值，求实数a的取值范围；（Ⅱ）
已知函数f(x)＝1+lnxx．（Ⅰ）若函数在区间(a，a+12)（其中a＞0）上存在极值，求实数a的取值范围；（Ⅱ）如果当x≥1时，不等式f(x)≥kx+1恒成立，求实...
已知函数f(x)＝1+lnxx．（Ⅰ）若函数在区间(a，a+12)（其中a＞0）上存在极值，求实数a的取值范围；（Ⅱ）如果当x≥1时，不等式f(x)≥kx+1恒成立，求实数k的取值范围；（Ⅲ）求证．nk＝1[lnk+ln(k+1)]＞n2?n+1n+1(n∈N*)．
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（Ⅰ）因为f(x)＝
，x＞0，
则f′（x）=
…1分
当0＜x＜1时，f'（x）＞0；当x＞1时，f'（x）＜0．
所以f（x）在（0，1）上单调递增；在（1，+∞）上单调递减，
所以函数f（x）在x=1处取得极大值．…2分
因为函数f（x）在区间(a，a+
)（其中a＞0）上存在极值，
所以
，解得
＜a＜1．…4分
（Ⅱ）不等式f(x)≥
，
即为
≥k，记g(x)＝
，
所以g′(x)＝
＝
，…6分
令h（x）=x-lnx，则h′(x)＝1?
，∵x≥1，∴h'（x）≥0．
∴h（x）在[1，+∞）上单调递增，
∴[h（x）]min=h（1）=1＞0，从而g'（x）＞0
故g（x）在[1，+∞）上也单调递增，
∴[g（x）]min=g（1）=2，所以k≤2…8分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知：f(x)＞
恒成立，即lnx≥
＝1?
＞1?
，
令x=n（n+1），则ln[n(n+1)]＞1?
，…10分
所以 ln(1×2)＞1?
，ln(2×3)＞1?
，
ln(3×4)＞1?
，…，ln[n(n+1)]＞1?
| 1+lnx |
| x |
则f′（x）=
| ?lnx |
| x2 |
当0＜x＜1时，f'（x）＞0；当x＞1时，f'（x）＜0．
所以f（x）在（0，1）上单调递增；在（1，+∞）上单调递减，
所以函数f（x）在x=1处取得极大值．…2分
因为函数f（x）在区间(a，a+
| 1 |
| 2 |
所以
|
| 1 |
| 2 |
（Ⅱ）不等式f(x)≥
| k |
| x+1 |
即为
| (x+1)(1+lnx) |
| x |
| (x+1)(1+lnx) |
| x |
所以g′(x)＝
| [(x+1)(1+lnx)]′x?(x+1)(1+lnx) |
| x2 |
| x?lnx |
| x2 |
令h（x）=x-lnx，则h′(x)＝1?
| 1 |
| x |
∴h（x）在[1，+∞）上单调递增，
∴[h（x）]min=h（1）=1＞0，从而g'（x）＞0
故g（x）在[1，+∞）上也单调递增，
∴[g（x）]min=g（1）=2，所以k≤2…8分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知：f(x)＞
| 2 |
| x+1 |
| x?1 |
| x+1 |
| 2 |
| x+1 |
| 2 |
| x |
令x=n（n+1），则ln[n(n+1)]＞1?
| 2 |
| n(n+1) |
所以 ln(1×2)＞1?
| 2 |
| 1×2 |
| 2 |
| 2×3 |
ln(3×4)＞1?
| 2 |
| 3×4 |
