Question

函数f（x，y）在点（x0，y0）处偏导数存在是f（x，y）在该点可微的（　　）A．充分非必要条件B．必要非充

函数f（x，y）在点（x0，y0）处偏导数存在是f（x，y）在该点可微的（　　）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件

Answer 1

偏导数存在，并不一定保证函数可微．如
f(x，y)＝

xy x2+y2 ，(x，y)≠(0，0) 0 ，(x，y)＝(0，0)

，
由定义可以求出f′_x（0，0）=f′_y（0，0）=0，
但

lim x→0

y→0

f（x，y）不存在，即函数在原点不连续
因而也就不可微分了
即偏导数存在不能推出可微
由可微，得△f=f（x+△x，y+△y）-f（x，y）=A△x+B△y+o（ρ）中，令△y=0
则有f（x+△x，y）-f（x，y）=A△x+o（|△x|），两端处于△x，并令△x→0，得

lim

△x→0

f(x+△x，y)?f(x，y)

△x

＝fx(x，y)，同理f_y（x，y）也存在．
即可微?偏导数存在
∴函数f（x，y）在点（x₀，y₀）处偏导数存在是f（x，y）在该点可微的必要非充分条件
故选：B．

Answer 2

简单分析一下，详情如图所示