Question

如图所示，在梯形ABCD中，AD ∥ BC，AD＜BC，F，E分别是对角线AC，BD的中点．求证：EF= 1 2

如图所示，在梯形ABCD中，AD ∥ BC，AD＜BC，F，E分别是对角线AC，BD的中点．求证：EF= 1 2 （BC-AD）．

Answer 1

证明：方法一： 如图所示，连接AE并延长，交BC于点G． ∵AD ∥ BC， ∴∠ADE=∠GBE，∠EAD=∠EGB， 又∵E为BD中点， ∴△AED≌△GEB． ∴BG=AD，AE=EG． 在△AGC中， ∵F，E分别是对角线AC，BD的中点 ∴F、E是△AGC的为中位线， ∴EF ∥ BC，EF= 1 2 GC= 1 2 （BC-BG）= 1 2 （BC-AD）， 即EF= 1 2 （BC-AD）． 方法二：如图所示，设CE、DA延长线相交于G． ∵E为BD中点，AD ∥ BC，易得△GED≌△CEB． ∴GD=CB，GE=CE． 在△CAG中，∵E，F分别为CG，CA中点， ∴EF= 1 2 GA= 1 2 （GD-AD）= 1 2 （BC-AD），即EF= 1 2 （BC-AD）．