Question

设函数f(x)=x-ln(x+2),证明函数f(x)在[e^-2-2,e^4-2]内有两个零点

Answer 1

设函数f(x)=x-ln(x+2),证明函数f(x)在[e^-2-2,e^4-2]内有两个零点.
f(e^(-2)-2)=1/e²>0
f(e^4-2)=e^4-6>47>0
f´(x)=1-1/(x+2)=(x+1)/(x+2),因为x+2>0,得定义域内唯一驻点x=-1，
f"(x)=1/(x+2)²>0,所以f(-1)=-1为极小值，亦为最小值，
当x∈[e^-2-2,-1]时，f(x)单调减少，f(e^(-2)-2)=1/e²>0,f(-1)=-1<0,根据闭区间连续函数的性质，存在且仅存在一个零点；
当x∈[-1,e^4-2]时，f(x)单调增加，f(e^4-2)=e^4-6>47>0,f(-1)=-1<0,根据闭区间连续函数的性质，存在且仅存在一个零点；
所以f(x)在定义域内有且仅有两个零点。