Question

一道解不等式题

若非零函数f（x）对任意实数a，b均有f（a+b）=f(a)•f(b)，且当x＜0时，f（x）＞1

（1）求证：f（x）＞0
（2）求证：f（x）为减函数
（3）当f（4）=1/16时，解不等式f(x-3)•f(5-x^2)≤1/4

Answer 1

1.令a=x/2,b=x/2 x任意
f（a+b）=f(a)?f(b)=> f(x)=f(x/2)^2>0 (非零函数)
2.令a=0 b=0
f(0)=f(0)^2 f(0)=1
在令a=x b=-x f(0)=f(x)f(-x)=1
设x1>x2
令a=x2 b=-x1
f(x2-x1)=f(x2)f(-x1)=f(x2)/f(x1)
x2-x1<0 则f(x2-x1)>1 则f(x2)/f(x1)>1 则f(x2)>f(x1)
所以减函数成立
3.f(x-3)?f(5-x^2)=f(-x^2+x+2)
因为f(4)=1/16 又f(4)=f(2)^2 所以 f(2)=1/4
即 f(-x^2+x+2）<=f(2)
因为是减函数 所以 -x^2+x+2>=2
所以 0=<x<=1