Question

已知数列{a n }的前n项和为S n ，且S n =n（n+1）（n∈N * ）．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若

已知数列{a n }的前n项和为S n ，且S n =n（n+1）（n∈N * ）．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n }满足： a n = b 1 3+1 + b 2 3 2 +1 + b 3 3 3 +1 +…+ b n 3 n +1 ，求数列{b n }的通项公式；（Ⅲ）令 c n = a n b n 4 （n∈N * ），求数列{c n }的前n项和T n ．

Answer 1

（Ⅰ）当n=1时，a 1 =S 1 =2， 当n≥2时，a n =S n -S n-1 =n（n+1）-（n-1）n=2n， 知a 1 =2满足该式， ∴数列{a n }的通项公式为a n =2n．（2分） （Ⅱ）∵ a n = b 1 3+1 + b 2 3 2 +1 + b 3 3 3 +1 +…+ b n 3 n +1 （n≥1）① ∴ a n+1 = b 1 3+1 + b 2 3 2 +1 + b 3 3 3 +1 +…+ b n 3 n +1 + b n+1 3 n+1 +1 ②（4分） ②-①得： b n+1 3 n+1 +1 = a n+1 - a n =2 ， b n+1 =2（3 n+1 +1）， 故b n =2（3 n +1）（n∈N * ）．（6分） （Ⅲ） c n = a n b n 4 =n（3 n +1）=n?3 n +n， ∴T n =c 1 +c 2 +c 3 +…+c n =（1×3+2×3 2 +3×3 3 +…+n×3 n ）+（1+2+…+n）（8分） 令H n =1×3+2×3 2 +3×3 3 +…+n×3 n ，① 则3H n =1×3 2 +2×3 3 +3×3 4 +…+n×3 n+1 ② ①-②得：-2H n =3+3 2 +3 3 +…+3 n -n×3 n+1 = 3(1- 3 n ) 1-3 -n× 3 n+1 ∴ H n = (2n-1)× 3 n+1 +3 4 ，…（10分） ∴数列{c n }的前n项和 T n = (2n-1)× 3 n+1 +3 4 + n(n+1) 2 …（12分）