Question

学习了勾股定理以后，有同学提出“在直角三角形中，三边满足a2+b2=c2，或许其他的三角形三边也有这样的关

学习了勾股定理以后，有同学提出“在直角三角形中，三边满足a2+b2=c2，或许其他的三角形三边也有这样的关系”．让我们来做一个实验!（1）画出任意一个锐角三角形，量出各边的长度（精确到1毫米），较短的两条边长分别是a=______mm；b=______mm；较长的一条边长c=______mm．比较=a2+b2______c2（填写“＞”，“＜”，或“=”）；（2）画出任意的一个钝角三角形，量出各边的长度（精确到1毫米），较短的两条边长分别是a=______mm；b=______mm；较长的一条边长c=______mm．比较a2+b2______c2（填写“＞”，“＜”，或“=”）；（3）根据以上的操作和结果，对这位同学提出的问题，你猜想的结论是：______，类比勾股定理的验证方法，相信你能说明其能否成立的理由．

Answer 1

（1）较短的两条边长分别是a=6mm；b=8mm；较长的一条边长c=9mm．比较=a²+b²＞c²；

（2）较短的两条边长分别是a=6mm；b=8mm；较长的一条边长c=11mm．比较a²+b²＜c²；

（3）若△ABC是锐角三角形，则有a²+b²＞c²；
若△ABC是钝角三角形，∠B为钝角，则有a²+b²＜c²．
当△ABC是锐角三角形时，
理由：过点A作AD⊥BC，垂足为D，设CD为x，

则有BD=a-x．
根据勾股定理，得b²-x²=AD²=c²-（a-x）²，
即b²-x²=c²-a²+2ax-x²．
∴a²+b²=c²+2ax．
∵a＞0，x＞0，
∴2ax＞0；
∴a²+b²＞c²．
当△ABC是钝角三角形时，
理由：过B作DD⊥AC，交AC的延长线于D．
设CD为x，则有BD²=a²-x²，
根据勾股定理，得（b+x）²+a²-x²=c²，即a²+b²+2bx=c²．
∵c＞0，x＞0，
∴2bx＞0，
∴a²+b²＜c²．