Question

已知二次函数y=x 2 +2x+m的图象C 1 与x轴有且只有一个公共点．（1）求C 1 的顶点坐标；（2）将C 1 向下平

已知二次函数y=x 2 +2x+m的图象C 1 与x轴有且只有一个公共点．（1）求C 1 的顶点坐标；（2）将C 1 向下平移若干个单位后，得抛物线C 2 ，如果C 2 与x轴的一个交点为A（﹣3，0），求C 2 的函数关系式，并求C 2 与x轴的另一个交点坐标；

Answer 1

解：（1）y=x 2 +2x+m=（x+1） 2 +m﹣1，对称轴为x=﹣1， ∵与x轴有且只有一个公共点， ∴顶点的纵坐标为0， ∴C 1 的顶点坐标为（﹣1，0）； （2）设C 2 的函数关系式为y=（x+1） 2 +k， 把A（﹣3，0）代入上式得（﹣3+1） 2 +k=0，得k=﹣4， ∴C 2 的函数关系式为y=（x+1） 2 ﹣4． ∵抛物线的对称轴为x=﹣1，与x轴的一个交点为A（﹣3，0）， 由对称性可知，它与x轴的另一个交点坐标为（1，0）

（1）将二次函数y=x 2 +2x+m化成顶点式即可   （2）由于抛物线C 2 是由C 1 向下平移若干个单位后，可设C 2 的函数关系式为y=（x+1） 2 +k，把点A坐标代入，即可求出C 2 的函数关系式，利用抛物线的对称性求与x轴的另一个交点坐标