Question

已知定点A（-2，-4），过点A作倾斜角为45°的直线l，交抛物线y 2 =2px（p＞0）于B、C两点，且|BC|=2

已知定点A（-2，-4），过点A作倾斜角为45°的直线l，交抛物线y 2 =2px（p＞0）于B、C两点，且|BC|=2 10 ．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）在（Ⅰ）中的抛物线上是否存在点D，使得|DB|=|DC|成立？如果存在，求出点D的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）直线l方程为y=x-2，将其代入y 2 =2px，并整理，得 x 2 -2（2+p）x+4=0…①， ∵p＞0，∴△=4（2+p） 2 -16＞0， 设B（x 1 ，y 1 ）、C（x 2 ，y 2 ），∴x 1 +x 2 =4+2p，x 1 ?x 2 =4， ∵|BC|=2 10 ，而|BC|= 1+ k 2 |x 1 -x 2 |， ∴2 2 p2+4p =2 10 ，解得p=1，∴抛物线方程y 2 =2x． （2）假设在抛物线y 2 =2x上存在点D（x 3 ，y 3 ），使得|DB|=|DC|成立，记线段BC中点为E（x 0 ，y 0 ）， 则|DB|=|DC|?DE⊥BC?k DE =- 1 k 1 =-1， 当p=1时，①式成为x 2 -6x+4=0， ∴x 0= x 1 + x 2 2 =3，y 0 =x 0 -2=1， ∴点D（x 3 ，y 3 ）应满足 y 3 2 =2 x 3 y 3 -1 x 3 -3 =-1 ，解得 x 3 =2 y 3 =2 或 x 3 =8 y 3 =-4 ∴存在点D（2，2）或（8，-4），使得|DB|=|DC|成立．