Question

已知3阶矩阵A=（α1，α2，α3）的秩为2，且α3=2α1-3α2，又β=α1+α2+α3，则线性方程组AX=β的通解

已知3阶矩阵A=（α1，α2，α3）的秩为2，且α3=2α1-3α2，又β=α1+α2+α3，则线性方程组AX=β的通解为______．

Answer 1

∵r（A）=2，且A是3阶矩阵，
∴AX=0的基础解系所包含的解向量的个数为：3-r（A）=1，
即任一AX=0的非零解向量都是AX=0的基础解系，
又：A=（α₁，α₂，α₃），α₃=2α₁-3α₂，
则：A

2 -3 -1

=(α1，α2，α3)

2 -3 -1

=0，
所以，（2，-3，-1）^T是Ax=0的一个非零解，即为AX=0的基础解系，
而：β=α₁+α₂+α₃，则：
∴A

1 1 1

=(α1，α2，α3)

1 1 1

=β
即（1，1，1）^T是AX=β的解，
于是，AX=β的通解为：
（1，1，1）^T+k（2，-3，-1）^T（k为任意常数）