Question

已知三棱柱ABC-A1B1C1，侧棱AA1垂直于底面ABC，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=6，D为BC的中点．（Ⅰ）若E为棱CC1

已知三棱柱ABC-A1B1C1，侧棱AA1垂直于底面ABC，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=6，D为BC的中点．（Ⅰ）若E为棱CC1的中点，求证：DE⊥A1C；（Ⅱ）若E为棱CC1上的任意一点，求证：三棱锥A1-ADE的体积为定值，并求出此定值．γ

Answer 1

解答：证明：（Ⅰ）连接AC₁，BC₁，
则由D为BC的中点，E为棱CC₁的中点，则DE∥BC₁，
正方形ACC₁A₁中，AC₁⊥A₁C，
侧棱AA₁垂直于底面ABC，则AA₁⊥AB，
又AB⊥AC，则有AB⊥平面ACC₁A₁，
则AB⊥A₁C，即有A₁C⊥平面ABC₁，
则A₁C⊥BC₁，由于DE∥BC₁，
则DE⊥A₁C；
（Ⅱ）三棱锥A₁-ADE的体积即为三棱锥D-A₁AE的体积．
在三角形ABC中，取AC中点H，连接DH，DH∥AB，
由于AB⊥平面ACC₁A₁，即有DH⊥平面ACC₁A₁，
则三棱锥D-A₁AE的体积

1

3

×DH×

1

2

AC?AA₁=

1

3

×3×

1

2

×6×6=18．
则三棱锥A₁-ADE的体积为定值，且为18．