Question

函数f（x），g（x）（g（x）≠0）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′（x）g（x）＜f（x）g

函数f（x），g（x）（g（x）≠0）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），f（-3）=0，则不等式f(x)g(x)＜0的解集为______．

Answer 1

①令F（x）=

f(x)

g(x)

．
∵当x＜0时，f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），
∴F′(x)＝

f′(x)g(x)?f(x)g′(x)

g2(x)

＜0，
∴函数F（x）在x＜0时单调递减；
∵f（-3）=0，∴F（-3）=0．
∴F（x）＜0的解集为（-3，0）．
②∵f（x），g（x）（g（x）≠0）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，
∴F（-x）=

f(?x)

g(?x)

=-

f(x)

g(x)

=-F（x），
∴F（x）是R上的奇函数，
∴当x＞0时，F（x）＜0的解集为（3，+∞）．
综上可得：不等式

f(x)

g(x)

＜0的解集为（-3，0）∪（3，+∞）．
故答案为：（-3，0）∪（3，+∞）．