Question

两个全等的直角三角形ABC和DEF重合在一起，其中∠ACB=∠DFE=90°，∠BAC=∠EDF=60°，AC=DF=1．如图，固

两个全等的直角三角形ABC和DEF重合在一起，其中∠ACB=∠DFE=90°，∠BAC=∠EDF=60°，AC=DF=1．如图，固定△ABC不动，将△DEF沿线段AB向右平移，直至D、B两点重合为止．在此过程中，当点D不与A、B两点重合时，可作四边形CDBF．（1）当点D移动到AB的中点时，四边形CDBF的形状是______；（2）四边形CDBF是否可能为直角梯形？是否可能为等腰梯形？若可能，请画出相应的图形，并直接写出此时的平移距离；若不可能，只需作出判断，不必说明理由．

Answer 1

（1）四边形CDBF是菱形．
证明：如图1，

由平移的性质可得：CF∥AD，CF=AD．
∵点D是AB的中点，
∴AD=DB．
∴CF=DB．
∵CF∥DB，CF=DB，
∴四边形CDBF是平行四边形．
∵∠ACB=90°，点D是AB的中点，
∴CD=DB．
∴平行四边形CDBF是菱形．
故答案为：菱形．

（2）①四边形CDBF可能是直角梯形，
Ⅰ．当CD⊥AB时，四边形CDBF是直角梯形，如图2，

∵AC=1，∠A=60°，
∴AD=AC?cosA=1×

1

2

=

1

2

．
此时平移的距离是

1

2

．
Ⅱ．当BF⊥AB时，四边形CDBF是直角梯形，如图3，

∵DF=1，∠FDE=60°，
∴DB=DF?cos∠FDB=1×

1

2

=

1

2

．
∵∠ACB=90°，∠A=60°，
∴∠ABC=30°．
∴AB=2AC=2．
∴AD=AB-DB=

3

2

．
此时平移的距离是

3

2

．
②四边形CDBF不可能是等腰梯形．

理由如下：
假设四边形CDBF是等腰梯形，
则有BC=DF．
由平移的性质可得：CF∥AD，CF=AD．
∴四边形ACFD是平行四边形．
∴AC=DF．
∴AC=BC．
∴∠A=∠ABC=45°．
与条件“∠A=60°”矛盾，故假设不成立．
所以四边形CDBF不可能是等腰梯形．