Question

过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是坐标原点，则|AF|?|BF|的最小值是______

过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是坐标原点，则|AF|?|BF|的最小值是______．

Answer 1

由y²=4x得抛物线的焦点F（1，0），
设过F的直线的倾斜角为θ，因为直线与抛物线有两个交点，所以0＜θ＜π．
则直线的参数方程为

x＝1+tcosθ y＝tsinθ

，
代入y²=4x得，t²sin²θ-4tcosθ-4=0．
所以|AF|?|BF|=|t₁t₂|=

4

sin2θ

≥4．
当且仅当sinθ=1，即直线与抛物线的对称轴垂直时，|AF|?|BF|的值最小，最小值为4．
故答案为4．