Question

关于高等数学中函数间断点的判断问题

求下列函数的间断点并判断类型

Answer 1

1、在函数f(x)的间断点x0处，函数极限存在（或左右极限存在且相等）为A，那么该间断点处可以重新定义或补充定义f(x0)=A，使新的函数在x0点处连续，就称该间断点x0就是函数f(x)的可去间断点。

2、给定的函数在间断点x0=1处函数虽然没有定义，但是极限存在且等于1/3，所以补充定义f(1)=1/3，使新的函数在x0=1点处连续，就称该间断点x0=1就是给定函数f(x)的可去间断点。
3、1） 间断点 x = 0
lim<x→0>(1+x)^(1/x) = e , 故该间断点是可去间断点
2 ） y = (x+1)(x-1)/[(x-1)(x-2)]
间断点 x = 1，及 x = 2
lim<x→1> (x+1)(x-1)/[(x-1)(x-2)] = -2 , 故 x = 1 是可去间断点；
lim<x→2> (x+1)(x-1)/[(x-1)(x-2)] = ∞ , 故 x = 2 是无穷间断点。

Answer 2

1 间断点 x = 0
lim<x→0>(1+x)^(1/x) = e , 故该间断点是可去间断点
2 y = (x+1)(x-1)/[(x-1)(x-2)]
间断点 x = 1，及 x = 2
lim<x→1> (x+1)(x-1)/[(x-1)(x-2)] = -2 , 故 x = 1 是可去间断点；
lim<x→2> (x+1)(x-1)/[(x-1)(x-2)] = ∞ , 故 x = 2 是无穷间断点。