Question

已知:如图,AB//CD,∠ABD和∠BDC的平分线相交于点G,过G的直线分别交AB、CD于点E、F

求证：（1）G是EF的中点（2）BE+DF=BD
·······

Answer 1

（1）取BD的中点为H，连接GH，因为AB//CD，所以∠ABD和∠BDC之和为180°，又因为BG为∠ABD的角平分线，DG为∠BDC的角平分线，所以∠GBD和∠BDG之和为90°，所以∠BGD为90°，即三角形BGD为直角三角形，因为H为BD的中点，所以GH等于HD（直角三角形斜边中线定理），所以∠HGD=∠HDG=∠GDF，所以GH//FD（内错角相等),所以GH为梯形EBDF的中位线，所以G为EF的中点
(2)BE+DF=2GH（中位线定理），而GH=BH=DH，即BD=2GH，所以BE+DF=BD