Question

数列证明题

已知正项数列{a(n)}的首项a(1)=a，a>2,2a(n+1)=[a(n)]^2/[a(n)-1]，证明两个结论：a(n)>2且a(n+1)<a(n)，以及a(1)+a(2)+…+a(n)<2(n+a-2)。这题的难度，大概可以在一份难度中等的高考题里作为数列的解答题。
至于证明过程，尽量不直接使用数学归纳法，变化用或不用

Answer 1

设bn=1/an
则1/a(n+1)=(2an-2)/an^2=2/an-2/an^2
b(n+1)=2bn-2bn^2
b1属于(0,1/2)
b2=2b1-2b1^2属于(0,1/2)
b3=2b2-2b2^2属于(0,1/2)
……
bn=2b(n-1)-2b(n-1)^2属于(0,1/2)
故an>2
b(n+1)-bn=2bn-2bn^2-bn=-2bn^2+bn (bn属于(0,1/2))
而后可得b(n+1)-bn属于(0,1/8]
b(n+1)-bn>0
b(n+1)>bn
故a(n+1)<an

设cn=an-2
要证明原式即证c1+c2+c3+....+cn<2a-4=2(a-2)=2(a1-2)=2c1
即证明c1+c2+c3+....+cn<2c1
又有a(n+1)-2<an-2 <=> c(n+1)<cn
又因为an>2,故cn>0
设d1=c1，dn=(1/2)^(n-1)*d1
Sdn=d1*((1/2)^(n-1)-2)<2d1
d1+d2+d3+....+dn<2d1
d(n+1)/dn=1/2
c(n+1)/cn=(an^2/(2an-2)-2)/(an-2)
=(an^2-4an+4)/((an-2)(2an-2))
=((an-2)^2)/((an-2)(2an-2))
=(an-2)/(2an-2)
=((an-1)-1)/(2(an-1))
=1/2-1/(2an-2)<1/2
故可知cn<dn (n>=2)
又d1+d2+d3+....+dn<2d1
所以c1+c2+c3+....+cn<2c1