已知函数f(x)=lnx+1/x+ax,x∈(0,+∞)(a为实常数)。
(1)当a=0时,求f(x)的最小值;(2)若f(x)在[2,+∞)上是单调函数,求a的取值范围;...
(1) 当a=0时,求f(x)的最小值;
(2) 若f(x)在[2,+∞)上是单调函数,求a的取值范围; 展开
(2) 若f(x)在[2,+∞)上是单调函数,求a的取值范围; 展开
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(1)当a=0时,f(x)=lnx+1/x。求导得:f'(x)=1/x-1/x^2=(1-1/x)/x
因为x∈(0,+∞),当f'(x)=0时取得极值,所以取得极值点x=1
当x<1时,f'(x)<0,f(x)随着x的增大而减小;当x>1时,f'(x)>0,f(x)随着x的增大而增大。
所以,f(x)在x=1时的极值是极小值,也是最小值,等于1
(2)f'(x)=1/x-1/x^2+a=a+1/4-(1/x-1/2)^2
当x∈[2,+∞)时,f'(x)∈(a,a+1/4]。由于f(x)在此区段是单调函数,所以,有
a≥0或a+1/4≤0 得:a的取值范围是(-∞,-1/4]∪[0,+∞)
因为x∈(0,+∞),当f'(x)=0时取得极值,所以取得极值点x=1
当x<1时,f'(x)<0,f(x)随着x的增大而减小;当x>1时,f'(x)>0,f(x)随着x的增大而增大。
所以,f(x)在x=1时的极值是极小值,也是最小值,等于1
(2)f'(x)=1/x-1/x^2+a=a+1/4-(1/x-1/2)^2
当x∈[2,+∞)时,f'(x)∈(a,a+1/4]。由于f(x)在此区段是单调函数,所以,有
a≥0或a+1/4≤0 得:a的取值范围是(-∞,-1/4]∪[0,+∞)
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