Question

极限题目

求（1+a+a^2+a^3+……+a^n)/(1+b+b^2+b^3+……+b^n) 的极限 其中a、b的绝对值都小于1。
答案是（1-b)/(1-a) 求过程

Answer 1

运用等比求和公式
1+a+a^2+a^3+……+a^n=(1-a^n)/（1-a）

同理1+b+b^2+b^3+……+b^n=(1-b^n)/（1-b）

所以
原式=(1-a^n)（1-b）/（1-a）(1-b^n)

当n趋近于无穷且a、b的绝对值都小于1，那么a^n=0，b^n=0

所以
当n趋近于无穷，原式=（1-b）/（1-a）

Answer 2

用等比数列的求和公式
Sa=1（1-a^n）/(1-a)
Sb=1(1-b^n)/(1-b)
因为ab绝对值都小于1，所以当n->无穷时，a^n与b^n 都趋于0
上式=Sa/Sb=1/(1-a) 除以 1/(1-b)=(1-b)/(1-a)

Answer 3

分子分母同乘以（1-a）*（1-b）,就得【1-a^(n+1)】*（1-b) / 【1-b ^(n+1) 】*(1-a) 结果就显而易见了，得（1-b)/(1-a)