Question

关于函数求导的问题

关于函数求导的问题请问函数在某一点可导和某一去心邻域可导的区别？
如果一个函数在某点可导，那请问在该点的去心邻域内也可导吗？

Answer 1

在某一点可导，不能说明在去心领域内也可导，反例:
f(x)=x∧2,x为有理数;0，1，x为无理数，在0处

追问

如果一个函数在某点的导数存在 那原函数在该点去心邻域内未必可导 是这样吗

或者一个函数有这样的条件 f'（xo）＝a，f''（xo）＝b 那可以说f'x在xo的去心邻域内可导吗

追答

请记住，在一点处可导，并不能说明在其入心邻域内可导，这两者根本没有联系

追问

洛必达法则要用的条件之一是在某点的去心邻域可导 若条件只给某点的导数存在没有说在该点的去心邻域导数存在，那不是就不能用洛必达法则求极限？

追答

这是很显然的

追问

能看一下这个吗？

追答

这不是跟我的说法一致吗

追问

他说的gx某点的二阶导数存在就能说明gx的一阶导数在该点的去心邻域可导

追答

二阶肯定能推一阶，但是同阶是不能的

因为二阶导数的极限定义中就有一阶的表达式

追问

那就是说函数在某点可导就能说明原函数在该点去心邻域可导吗

追答

高阶能推低阶，不能推同阶，记住这句话就行了

追问

那一阶能推原函数吗

追答

都一阶导数了，还怎么推？0阶不就是函数本身？如果你说积就可以

追问

我的意思是如果f'（0）＝0 那可以判断fx 在0的去心邻域内可导吗

追答

肯定不行啊，这不是同阶吗我的哥

追问

原函数跟一阶导数是同阶吗

追答

。。

如果你说它在去心邻域可导，也就是说f'(x)在去心邻域可导，我说了f'(0)可导推不出这个，这两个不是同阶吗

第一个是存在

f'(x)在去心邻域存在

f'(x)与f'(0)同阶。。f''(0)能推出f'(x)存在。。你问原函数，就是问的f'(x)。。我真的醉了

追问

上面那个它是指fx 还是f'x？

追答

f(x)啊

追问

就是说知道f''0＝a 能推f'x在0处去心邻域可导 知道f'0＝0 可推fx在0处去心邻域可导

我是这个意思 是这样对不对

追答

后面一句话不成立，前面一句话成立

追问

为什么 ？

抱歉 文科生数学很头疼

追答

如果f(x)在去心邻域可导，那也就是说f'(x)在去心邻域存在，但是f'(0)跟f'(x)是同阶，所以推不出

前面的一切，高阶可导只能推出低阶导数存在

追问

那我令一阶导数f'x为gx 二阶f''x为g'x 那不是也是推回到本身的那个函数了吗

追答

g'(0)存在，能推出g(x)存在

但是不关g'(x)任何事

0点处一阶导数存在，只能说明原函数存在

追问

我先自己想想 不懂的再问你 谢谢