Question

高中数学—集合，几道我认为很纠结的题目，急求解！！！帮个忙啊！

1、求m，是不等式| x²-mx+1∕x²+x+1 | ＜3恒成立

2、关于x的不等式，它的解集为｛x | x1≤x≤x2｝,且1≤ | x1-x2 | ≤3,（m－2）x²-mx-1≥0,求实数m的取值范围

3、已知A=｛x | x²-3x+2≤0｝,B=｛x | x²-（a+1）x+a≤0｝

(1)若A是B的真子集，求A的取值范围，
(2)若B包含于A，求a的取值范围；
(3)若A∩B为仅含有一个元素的集合，求a的值

Answer 1

1 x²+x+1=(x+1/2)^2+3/4>0 恒成立
不等式化为 | x²-mx+1 | ＜3(x²+x+1)
所以去不等式有
-3(x²+x+1) ＜ x²-mx+1 ＜3(x²+x+1)
即:4x²-(m-3)x+4>0且2x²+(m+3)x+2>0
要使上式恒成立,只要判别式<0
(m-3)^2-4*4*4<0 且(m+3)^2-4.2*2<0
即 -5<m<11且-7<m<1
所以m 取值范围为{m|-5<m<1}

2 m=2时,不等式变为-2x-1≥0 解集为x<=-1/2 不符题意,故m不等于2
由不等式的解的形式（且x1,x2不相等）
(m-2)<0 且 m^2+4(m-2)>0
m<-2-2根号3
由韦达定理
x1+x2=m/(m-2) x1*x2=-1/(m-2)
且x2>x1
所以 1≤x2-x1≤3
1≤(x2-x1)^2≤9

(x2-x1)^2=(x2+x1)^2-4x1*x2=(m/(m-2))^2+4/(m-2)

1≤((m/(m-2))^2+4/(m-2)≤9

解得 m>=5+s根号3
与m<-2-2根号3 没有交集，故无解]

3. A={x|1≤x≤2} B={x|(x-a)(x-1)≤0}
（1）当a=1时,B为{1},A∩B=空集=B 矛盾
a>1时, B={x|1≤x≤a} 由于A是B的真子集
a>2 又有此时a>1
所以此时的解为 a>2
a<1时 B={x|a≤x≤1} 由于A是B的真子集
此时无解
综上所述，a的取值范围。{a|a>2}
(2)当a=1时,B为空集,A∩B=空集=B 成立
a>=1时, B={x|1≤x≤a} B包含于A
此时有 a≤2 又有此时a>=1
所以此时的解为 1≤a≤2
a<1时 B={x|a≤x≤1} 由于B包含于A
此时无解
综上所述，a的取值范围。{a|1≤a≤2}

(3)当a=1时,B为空集,A∩B=空集=B 成立
a>=2时, B={x|1≤x≤a}
A∩B=A 不为一个无素,矛盾
1<a<2时 B={x|1≤x≤a}
A∩B=B 不为一个无素,矛盾
此时无解
a=1时,B={1} A∩B=B={1} 满足条件
a<1时,B={x|a≤x≤1} A∩B=B={1} 满足条件

综上所述，a的取值范围。{a|a≤1}