Question

高数定积分问题求解

高数定积分问题求解题目是这样的，求y=cosx(-π/2≤x≤π/2)绕y轴形成的几何体的体积。
答案如图
做的是汤家凤的接力题典1800的基础篇
求解在图中做法下为什么积分上下限取(0,π/2)而不是(-π/2≤x≤π/2)？尽管我知道取(-π/2≤x≤π/2)时会得到体积为0...但是不知道为什么会为0...
而且我也试了诸如-x²这种y轴对称图形，发现x取对称区间旋转出来的体积也是0...
跪求大佬

Answer 1

微元法，把每一个圆柱面积相加。

追答

绕y轴，0~π/2和0~-π/2都是一样的图像。

追问

大神，我明白你的意思，但是为什么积分限就不能取到-π/2~π/2？

追答

而且积分里面是cosx，是偶函数，怎么会是0…最多算重复。

一半范围绕一圈是整个封闭体积，可以取全部范围，不过绕半圈就够了，所以是1/2圆周。

相当于一根木头拿中间转，转一半就画了一个圆，拿一遍转要转一圈。

追问

谢谢大神指教!

追答

考研加油😂

Answer 2

①从你贴出的图片看，这个题目不是在求曲线绕y轴形成的体积。因为y=cosx(-π/2≤x≤π/2)绕y轴只能形成曲面，并且贴出的答案也是曲面公式（不知道为什么用的V来让人误解）。
②计算曲面面积，只需要(0,π/2)，如果用(-π/2≤x≤π/2)，等于你花了两个重叠的曲面，并不是你说的等于0 。

追问

当积分限为-π/2~π/2对xcox积分肯定得出了0

不知为什么...

待会我重开一个题，你来拿分

追答

①你说的没错，只看这个积分函数xcosx在(-π/2≤x≤π/2)上积分肯定是0.

②旋转面的积分利用的是一个圆圈和曲线积分，你贴的图片的一般公式应该是：

即一个圆圈沿着曲线L积分（类似于圆柱面累加），ds表示对曲线段积分，这里的R(x)指的就是圆圈变化的半径，半径肯定必须为正。

③所以其实对cosx的旋转面积，应该是对|x|cosx积分，但是若在(-π/2≤x≤π/2)对|x|cosx积分，就等于对旋转面球了两次面积了。

分就算了，没有关系的。