Question

已知数列{an}的前n项的和为Sn，且满足A1=1/2,An+2Sn·Sn-1=0（n>=2)

Answer 1

证：
an+2snsn-1=0
sn-sn-1+2snsn-1=0
等式两边同除以snsn-1
1/sn-1-1/sn+2=0
1/sn-1/sn-1=2，为定值。
1/s1=1/a1=2
数列{1/sn}是以2为首项，2为公差的等差数列。
1/sn=2+2(n-1)=2nsn=1/(2n)
1/sn-1=2+2(n-2)=2(n-1)sn-1=1/[2(n-1)]
an=sn-sn-1=1/(2n)-1/[2(n-1)]=1/[2n(1-n)]
bn=2(1-n)an=1/n
b2²+b3²+...+bn²
=1/2²+1/3²+...+1/n²
<1/(1×2)+1/(2×3)+...+1/[(n-1)n]注：这步用到了放缩法。
=1-1/2+1/2-1/3+...+1/(n-1)-1/n
=1-1/n
<1
不等式成立。

Answer 2

1.
An=Sn-S(n-1)带入原式
Sn-S(n-1)+2Sn×S(n-1)=0
两边同除Sn×S(n-1)
1/S(n-1)-1/Sn+2=0
1/Sn-1/S(n-1)=2
{1/Sn}是等差数列
2.
1/S1=1/A1=2
1/Sn=2n
Sn=1/2n
An=Sn-S(n-1)
=1/2n-1/2(n-1)
=-1/2n(n-1)
n>=2时成立，A1=1/2
3.
(Sn)^2=1/(4n^2)<=(2n-1)/(4n)^2
(S1)^2+(S2)^2+……+(Sn)^2
<=(2n-1)/(4n^2)×n
=(2n-1)/4n=1/2-1/4n