Question

一道理科数学导数压轴题（具体见图）

感觉难度有点大，不要网上复制的答案，网上很多是错的。

Answer 1

不知道有没有学过极限
x>0
(1)c=0 f(x)=lnx 易得有1个零点 x=1
(2)c>0
f'(x)=1/x -2cx=(1-2cx^2)/x
f'(x)>0 1>2cx^2 x<根号（1/2c)
f'(x)<0 1<2cx^2 x>根号（1/2c)
f'(x)=0 1=2cx^2 x=根号（1/2c)
在（0，1/2c）f(x)单调递增 ……f(根号1/2c))为最大值
f(根号1/2c))=ln(根号（1/2c))-1/2=(1/2)(ln(1/2c)-1)
当 ln(1/2c)<1, 1/2c<e ,c>1/2e ,f(x)不存在零点
当 ln(1/2c)=1 ,1/2c=e ,c=1/2e ,f(x)存在1个零点
当 ln(1/2c)>1 ,1/2c>e ,0<c<1/2e f(x)>0
然后证明f(x)存在负值（学过求极限就不用下面方式了）还可以直接构造个x使得f(x)<0
在(0,1)区间 ，f(x)<0 ，存在1个零点
这里可以用不等式 ，构建x，直接求极限等方式
不等式
x>根号1/2c ,存在不等式lnx-cx^2<x-cx^2恒成立 区间[根号1/2c ,正无穷) x-cx^2<=0 即f(x)<0 同理在区间[根号1/2c),1/c] f(a)f(b)<0
（构建 根号1/2c>根号e f(1)=-c<0)
(3)
c<0 f'(x)>0 函数单调递增
f(1)=-c>0
1.构建x
0<e^c<1
f(e^c)=c-c(e^c)^2=c(1-(e^c)^2)<0
所以存在一个零点
二
0<c<1/2e
设x1>x2
ln(x1x2)=c(x1^2+x2^2)
ln(x1/x2)=c(x1-x2)
(x1x2)=e^(c(x1^2+x2^2))>1
ln(x1/x2)/ln(x1x2)=(x1^2-x2^2)/(x1^2+x2^2)
假设x1x2<=e 则 0<ln(x1x2)<=1
ln(x1/x2)<=(x1^2-x2^2)/(x1^2+x2^2)
令t=x1/x2 t>1
lnt>(t^2-1)/(t^2+1)
设g(t)=lnt-(t^2-1)/(t^2+1)
g'(t)=(t^2-1)^2/t>0 g(t)在……递增
g(1)=0 g(t)>0
与假设矛盾
所以 x1x2>e 得证

Answer 2

第二问