线性代数 向量组线性无关的证明
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以三个向量为例,假设三个向量分别为
a,b,c。三个常数K1,K2,K3,若存在不全为0的K1、K2、K3,使得
K1
*
a
+
K2
*
b
+
K3
*
c
=
0,则我们可以称为向量a,b,c线性相关;否则称为线性无关(注意,这里等号右边的0指的是0向量,是一个矢量,因为常数乘以向量的结果是一个向量,向量相加也是一个向量。)上面等式中,不全为0指的是只要K1,K2,K3三个常数有一个不为0,上式等式成立,三个向量也就是线性相关。只有在K1=K2=K3=0时,前面等式才成立,那么我们就称为向量a,b,c线性无关。其他多个向量线性相关性的原理与此类似。也可用反证法证明。即先假设线性相关,最后推出K1=k2=k3=0,与先前假设矛盾,故可证明结论是线性无关。
a,b,c。三个常数K1,K2,K3,若存在不全为0的K1、K2、K3,使得
K1
*
a
+
K2
*
b
+
K3
*
c
=
0,则我们可以称为向量a,b,c线性相关;否则称为线性无关(注意,这里等号右边的0指的是0向量,是一个矢量,因为常数乘以向量的结果是一个向量,向量相加也是一个向量。)上面等式中,不全为0指的是只要K1,K2,K3三个常数有一个不为0,上式等式成立,三个向量也就是线性相关。只有在K1=K2=K3=0时,前面等式才成立,那么我们就称为向量a,b,c线性无关。其他多个向量线性相关性的原理与此类似。也可用反证法证明。即先假设线性相关,最后推出K1=k2=k3=0,与先前假设矛盾,故可证明结论是线性无关。
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设x1α1+x2α2+...+x(n-1)α(n-1)+yβ=0,则x1α1+x2α2+...+x(n-1)α(n-1)=-yβ。
两边与β求内积,得0=-y(β,β),因为β非零,所以(β,β)>0,所以y=0。
所以x1α1+x2α2+...+x(n-1)α(n-1)=0。
因为α1,α2,...,α(n-1)线性无关,所以x1=x2=...=x(n-1)=0。
所以向量组α1,α2,...,α(n-1),β线性无关。
两边与β求内积,得0=-y(β,β),因为β非零,所以(β,β)>0,所以y=0。
所以x1α1+x2α2+...+x(n-1)α(n-1)=0。
因为α1,α2,...,α(n-1)线性无关,所以x1=x2=...=x(n-1)=0。
所以向量组α1,α2,...,α(n-1),β线性无关。
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eg:设向量组a1 a2 a3线性无关,且β1=a1+a2,β2=a2+a3,β3=a3+a1。判定向量组β1 β2 β3的线性相关性
答:设有x1x2x3,使得x1β1+x2β2+x3β3=0。即x1(a1+a2)+x2(a2+a3)+x3(a3+a1)=0
整理得(x1+x3)a1+(x1+x2)a2+(x2+x3)a3=0 由a1a2a3无关得:x1+x3=0 x2+x1=0 x2+x3=0 推出x1=x2=x3=0 由此可得,对于x1β1+x2β2+x3β3=0 β1 β2 β3线性无关
答:设有x1x2x3,使得x1β1+x2β2+x3β3=0。即x1(a1+a2)+x2(a2+a3)+x3(a3+a1)=0
整理得(x1+x3)a1+(x1+x2)a2+(x2+x3)a3=0 由a1a2a3无关得:x1+x3=0 x2+x1=0 x2+x3=0 推出x1=x2=x3=0 由此可得,对于x1β1+x2β2+x3β3=0 β1 β2 β3线性无关
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证所有的k1
k1
k3
k4.......都为0
或
每一个向量都无法用其余向量线型表出
有具体问题么
可以证明给你
k1
k3
k4.......都为0
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