Question

试证明极限 lim(x^2*y^2)/(x^2*y^2+(x-y)^2)不存在

Answer 1

令y=√x,则原式=
lim(x→0)
x²/(x²+(√x)²-x)=1;
再令y=kx，k为任意常数，则原式=
lim(x→0)
x²/(x²+(kx)²-x)
=lim(x→0)
x/(
(1+k²)x-1)
=0
说明当路径不同时得到的极限不同。
不符合多元函数极限存在定义。
因此原式极限是不存在的。

Answer 2

1
证明，令y=x得到,
极限=1.
令y=2x，极限=0
根据极限的唯一性，原极限不存在。
2
令u=x^2+y^2
原极限=lim(u->0)
usin(1/u)=0
因为sin(1/u)是个有界函数，所以有界函数乘以0，等于0