Question

已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，首项为a1，且2，an，Sn成等...

已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，首项为a1，且2，an，Sn成等差数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)若bn＝log2an，cn＝bnan，求数列{cn}的前n项和Tn.

Answer 1

（1）an＝2n
（2）∴Tn＝2－（察迅2＋n）/2n
(1)由题意知2an＝Sn＋2，an>0，
当n＝1时，2a1＝a1＋2，
∴a1＝2.
当n≥2时，Sn＝2an－2，Sn－1＝2an－1－2，两式相减得
an＝2an－2an－1，整理得an/an-1＝2.
∴数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列．
∴an＝2×2n－1＝2n.
当n＝1时，上式亦成立，∴an＝2n.
(2)由(1)知an＝2n，∴bn＝n，cn＝n/2n，
Tn＝1/2＋2/4＋3/8＋…＋n/2n，①
1/2Tn＝1/4＋2/8＋3/16＋…＋n/2n＋1，②
①－②得1/2Tn＝1/2＋1/4＋1/8＋1/16＋…＋1/败拆此2n－n/2n＋1，
∴1/2Tn＝御码1－1/2n－n/2n＋1，
∴Tn＝2－（2＋n）/2n.