Question

求下列函数的反函数 （1）f(x)=x2+x(x≤-1)；（2）y=x|x|+2...

求下列函数的反函数 （1）f(x)=x2+x(x≤-1)；（2）y=x|x|+2x；（3）f(x)=x2-1(0≤x≤1)x2(-1≤x＜0)；（4）y=x3-3x2+3x+1；（5）y=log2（x2+1）（x＜0）

Answer 1

解：（1）∵y=f(x)=x2+x(x≤-1)，
∴x2+x-y2=0，x≤-1，且y≥0．
∴x=-1-1+4y22，
x，y互换，得f(x)=x2+x(x≤-1)的反函数为y=-1-1+4x22，x≥0；
（2）y=x|x|+2x，
当x≥0时，y=x2+2x，且y≥0，
x=-2+4+4y2=-1+1+y，
x，y互换，得y=x2+2x的反函数为x=-1+ 1+x，x≥0．
当x＜0时，y=-x2+2x，且y＜0，
x=-2-4-4y2=-1-1-y，
x，y互换，得y=-x2+2x的反函数为y=-1-1-x，x＜0．
∴y=x|x|+2x的反函数为y=-1+1+x，x≥0-1-1-x，x＜0；弯洞
（3）f(x)=x2-1(0≤x≤1)x2(-1≤x＜0)，
当0≤x≤1时，y=x2-1∈[-1，0]，
x2=y+1，
x=y+1，
x，y互换，得y=x2-1∈埋袭枯[-1，0]的反函数为y=x+1，-1≤x≤0．
当-1≤x＜0时，y=x2∈（0，1]，
x=-y，
x，y互换，得y=x2∈（0，1]的反函数为y=-x，0＜x≤1．
∴f(x)=x2-1(0≤x≤1)x2(-1≤x＜0)的反函数f-1(x)=x+1，-1≤x≤0-x，0＜x≤1；
（4）∵y=x3-3x2+3x+1，
∴y-2=x3-3x2+3x-1=（x-1）3，
x-1=（y-2） 13，
∴x=（y-2） 13+1，
∴y=x3-3x2+3x+1的反函数是y=(x-2)13+1，x∈R；
（5）∵y=log2（x2+1）（x＜0）
∴x2+1=2y，且y＞禅弯0
x2=2y-1，
x=-2y-1，
x，y互换，得y=log2（x2+1）（x＜0）的反函数为y=-2x-1，x＞0．