Question

关于数学选修2-2导数问题

1.某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间定价为每天180元时，房间会全部注满；房间单价每增加10元，就会有一个房间空闲，如果游客居住房间，宾馆每天需花费20元的各种维护费用，宾馆定价多少时，宾馆利润最大？注：详细解答 2.①圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底的半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？ ②变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用材料最省？ 3.求函数f(x)=3x-x^3的极值 4.曲线y=xe^x+2x+1在点（0，1）处的切线方程

Answer 1

1、设房间定价为P，则宾馆的利润W为：
W=（P-20）*[50-（P-180)/10]。
对P求一阶导，得
dW/dP=-0.2P+70,令其等于0，得P=350。
二阶导为-0.2《=0，故该问题只有唯一最大值。
2、设容积为V，所用材料为S（不封顶），底部半径为r，高为h。依题意，有
V=πhr^2——（1）
S=πr^2+2πrh——（2）
把（2）式代入（1）式，得
S=V/h+2πrh，对h求导，得
dS/dh=-V/h^2+2πr，另其等于0，得
r=V/(2πh^2),将（1）代入此式，得
r=2h。
检验二阶导，有V/h^3>0，故存在唯一最小值。
3、该函数在定义域上是可导的，对f(x)求一阶导，得f'(x)=3-3x^2，
令f'(x)=0，得x=1或者-1。f'(1)=2，f'(-1)=-2，
f(x)在（-1，1）上是递增的，在其他部分是递减的，故f(x)极小值为-2，极大值为2。
4、该函数在定义域上是可导的，对x求一阶导，有
dy/dx=e^x+xe^x+2，令x等于0，有
dy/dx=1+0+2=3，故切线方程斜率为3，
令切线方程为：y=3x+b，将（0，1）代入该方程，有
1=0+b，所以b=1，
故该曲线在（0，1）处的切线方程为y=3x+1。