Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为BC的中点，连接AD，CE⊥AD于点E，交AB于F，连接DF。求证∠ADC=∠BDF

求下过程。 谢谢了。

Answer 1

解：

根据题意，可建立直角坐标系C为原点，向量CA方向为y轴正方向，向量BC方向为x轴正方向，

不妨设AC=1，此时可以坐标化这些点,A(0,1),B(-1,0),D(-1/2,0),

直线AD的斜率为k=AC/DC=2,

所以CE斜率为-1/k=-1/2,

AB的方程为:y=x +1,

CE的方程为:y=-(1/2)x,

易求得两直线交点F(-2/3,1/3),

所以DF的斜率为:
k'=(1/3-0)/(-2/3 +1/2)=-2,

所以k'=-k,

即tan∠FDC=-tan∠ADC,

∴tan∠FDB=tan∠ADC,

两个角都在0到180度范围内，

∴∠ADC=∠FDB。