Question

如果关于x的方程 有且仅有一个正实数解，则实数a的取值范围是________．

Answer 1

由函数解析式可得：x≠0，如果关于x的方程 有且仅有一个正实数解，
即方程ax 3 -3x 2 +1=0有且仅有一个正实数解，
构造函数f（x）=ax 3 -3x 2 +1
则函数f（x）的图象与x正半轴有且仅有一个交点．
又∵f'（x）=3x（ax-2）
当a=0时，代入原方程知此时仅有一个正数解 ，满足要求；
当a＞0时，则得f（x）在（-∞，0）和（ ，+∞）上单调递增，在（0， ）上单调递减，
f（0）=1，知若要满足条件只有x= 时，f（x）取到极小值0，
x= 代入原方程得到正数解a=2，满足要求；
当a＜0时，ax 3 =3x 2 -1，函数y=ax 3   与y=3x 2 -1在x＞0时只有一个交点，满足题意，
综上：a≤0或a=2．
故答案为：a≤0或2