Question

设椭圆C：x2a2+y2b2=1的左右焦点分别为F1，F2，直线y=x-1过椭圆...

设椭圆C：x2a2+y2b2=1的左右焦点分别为F1，F2，直线y=x-1过椭圆的焦点F2且与椭圆交于P，Q两点，若△F1PQ周长为42． （1）求椭圆的方程； （2）圆C′：x2+y2=1直线y=kx+m与圆C′相切且与椭圆C交于不同的两点A，B，O坐标原点．若OA•OB=λ，且23≤λ≤34，求k的取值范围．

Answer 1

解：（1）由已知F2（1，0），即c=1，
△F1PQ周长为42，可得4a=42，即a=2，
∴b=1，
∴椭圆的方程为x22+y2=1；
（2）y=kx+m（b＞0）与圆x2+y2=1相切，则|m|1+k2=1，
即m2=k2+1，k≠0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则由y=kx+m代入椭圆方程，消去y得（2k2+1）x2+4kmx+2m2-2=0
又△=8k2＞0
x1+x2=-4km1+2k2，x1x2=2m2-21+2k2，
OA•OB=x1x2+y1y2=（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2=1+k21+2k2=λ，
∵23≤λ≤34，
∴23≤1+k21+2k2≤34，
∴12≤k2≤1，
∴-1≤k≤-22或22≤k≤1．