Question

设f(t)有连续函数,且f(1)=0,∫(x^3,1)f'(t)dt=lnx,请问f(e)等于多少？

原题如图。感谢

Answer 1

∫<1,x³>f'(t)dt=lnx
==》 ∫<1,x³>d[f(t)]=lnx
==》 [f(t)]|<1,x³>=lnx
==》 f(x³)-f(1)=lnx
已知f(1)=0，则：f(x³)=lnx
令x³=u，则x=u^(1/3)
所以，f(u)=ln[u^(1/3)]=(1/3)·lnu
即，f(x)=(1/3)lnx
所以，f(e)=1/3

Answer 2

f(1)=0
∫(1->x^3) f'(t) dt =lnx
To find: f(e)
solution:
∫(1->x^3) f'(t) dt =lnx
f(x^3)-f(1) = lnx
f(x^3)=lnx
代入 x=e^(1/3)

f(e) = lne^(1/3) = 1/3