Question

已知函数f(x)=(x-1)lnx-a(x+1），f(x1)= f(x2)=0，且x1<x2.(1)求a的取值范围; (难度: 130)(2)证明: x1-x2>e"-e",后面是e的a次方减去e的负a次方

Answer 1

问：已知函数f(x)=(x-1)lnx-a(x+1），f(x1)= f(x2)=0，且x1e"-e",后面是e的a次方减去e的负a次方

答：亲亲您好x＞0，f′（x）=lnx+x+1x-a．（I）f′（x）＞0恒成立，即a＜lnx+1x+1（x≥1）恒成立，令h（x）=lnx+1x+1，则h′（x）=x?1x2≥0，∴h（x）在[1，+∞）上是增函数，∴当x∈[1，+∞）时，h（x）最小值=h（1）=2，故a＜2．（II）g（x）=f′（x）-ax=lnx+x+1x-a-ax=lnx+1?ax+1-a，g′（x）=x?(1?a)x2，当a≥1时，g′（x）＞0，函数g（x）在（0，+∞）上递增；当a＜1时，g′（x）=0，得x=1-a，x∈（0，1-a）时，g′（x）＜0函数g（x）在（0，+∞）上递减；x∈（1-a，+∞）时，g′（x）＞0函数g（x）在（0，+∞）上递增；故函数g(x)＝f′(x)?ax的单调区间为：当a≥1时，函数g（x）递增区间为：（0，+∞）；当a＜1时，函数g（x）递增区间为：（1-a，+∞）；函数g（x）递减区间为：（0，1-a）．