Question

已知函数f(x)=x^2+kx+1/x^2+1 若当x大于0时,f(x)的最小值为-1,求实数k的值

Answer 1

分母是x^2+1、分子是x^2+kx+1吧?
如果是的话：

f(x)=(x^2+kx+1)/(x^2+1)
f'(x)=[(2x+k)(x^2+1)-(x^2+kx+1)(2x)]/[(x^2+1)^2]
f'(x)=k(1-x^2)/[(x^2+1)^2]
1、若k＞0
令：f'(x)＞0,即：k(1-x^2)/[(x^2+1)^2]＞0
有：1-x^2＞0,因为x＞0,解得：x∈(0,1)
此时f(x)为单调增函数
令：f'(x)＜0,即：k(1-x^2)/[(x^2+1)^2]＜0
有：1-x^2＜0,因为x＞0,解得：x∈(1,∞)
此时f(x)为单调减函数.
所以,当x=1时,f(x)有最大值f(1).
即：k＞0时,f(x)没有最小值.
2、若k＜0
令：f'(x)＞0,即：k(1-x^2)/[(x^2+1)^2]＞0
有：1-x^2＜0,因为x＞0,解得：x∈(1,∞)
此时f(x)为单调增函数
令：f'(x)＜0,即：k(1-x^2)/[(x^2+1)^2]＜0
有：1-x^2＞0,因为x＞0,解得：x∈(0,1)
此时f(x)为单调减函数.
所以,当x=1时,f(x)有最小值f(1).
f(1)=(1^2+k×1+1)/(1^2+1)
f(1)=(2+k)/2
而已知：f(1)=-1
所以：(2+k)/2=-1
2+k=-2
k=-4
即：k＞0时,f(x)没有最小值.