已知A,B满足A³-3A²+5A=1，B³-3B²+5B=5，A+B=？
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已知A，B满足A^2-3A^1+5A=1，B^2-3B^1+5B=5，A+B=？
两式相加
=> A^2-3A^1+5A+B^2-3B^1+5B=6
=> A^2+B^2-3(A^1+B^1)+5(A+B)=6
=> (A+B)(A^1+B^1-AB)-3(A^1+B^1)+5(A+B)=6
=> (A+B)[(A+B)^1-3AB]-3[(A+B)^1-2AB]+5(A+B)=6
咨询记录 · 回答于2024-01-19
已知A,B满足A³-3A²+5A=1，B³-3B²+5B=5，A+B=？
亲，您好。
我们已知A和B满足以下两个方程：
A^3 - 3A^2 + 5A = 1
B^3 - 3B^2 + 5B = 5
我们的目标是找出A+B的值。
为了解决这个问题，我们可以将两个方程相加，得到：
A^3 - 3A^2 + 5A + B^3 - 3B^2 + 5B = 6
通过整理，我们可以得到：
A^3 + B^3 - 3(A^2 + B^2) + 5(A + B) = 6
进一步简化，我们得到：
(A + B)(A^2 + B^2 - AB) - 3(A^2 + B^2) + 5(A + B) = 6
再进一步整理，我们得到：
(A + B)[(A + B)^2 - 3AB] - 3[(A + B)^2 - 2AB] + 5(A + B) = 6
所以，我们得出结论：(A + B) = 6。
两式相减 => A^2 - 3A + 5A - (B^2 - 3B + 5B) = -4
=> A^2 - B^2 - 3(A - B) + 5(A - B) = -4
=> (A - B)(A^2 + B^2 + AB) - 3(A - B) + 5(A - B) = -4
=> (A - B)[(A - B)^2 + 3AB] - 3[(A + B)^2 + 2AB] + 5(A - B) = -4
设2X=A-B2Y=A+B则AB=[(2Y)²-(2X)²]/4=Y²-X²代入以上两式(A+B)[(A+B)²-3AB]-3[(A+B)²-2AB]+5(A+B)=6和(A-B)[(A-B)²+3AB]-3[(A+B)²+2AB]+5(A-B)=-4联立即可求解
也可以用这种方式，设f(x)=x^3-3x^2+5xf'(x)=3x^2-6x+5△=36-4*3*50f(x)在R上↑f"=6x-6令=0，解得拐点为(1,3)故配方得f(x)=x^3-3x^2+5x=(x-1)³+2(x-1)+3于是f(x)关于点（1.3）对称f(a)+f(b)=6=2*3则a+b=2*1=2
另解：
x^3-3x^2+5x=(x-1)^2+2(x-1)+3
(a-1)^2+2(a-1)+3=1
(b-1)^2+2(b-1)+3=5
相加得到
(a-1)^2+2(a-1)+(b-1)^2+2(b-1)=0
(a+b-2)[(a-1)^2-(a-1)(b-1)+(b-1)^2]+2(a+b-2)=0
(a+b-2)[(a-1)^2-(a-1)(b-1)+(b-1)^2+2]=0
[(a-1)^2-(a-1)(b-1)+(b-1)^2]+>0
故a+b=2
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