Question

f(x)=ln(2x+a)的图像与直线y=2x相切，求a

Answer 1

首先，我们可以求出 $f(x)=\ln(2x+a)$ 的导函数 $f'(x)$：$$f'(x) = \frac{2}{2x+a}$$
因为 $f(x)$ 与 $y=2x$ 相切，所以 $f(x)$ 和 $y=2x$ 在切点处的斜率相等，即：
$$f'(x_0) = 2$$
其中 $x_0$ 为 $f(x)$ 与 $y=2x$ 相切的点的横坐标。代入 $f'(x)$ 的表达式，解出 $x_0$：
$$\frac{2}{2x_0+a} = 2$$
$$2x_0+a = 1$$
$$x_0 = \frac{1-a}{2}$$
由于 $f(x)$ 与 $y=2x$ 相切，所以 $f(x_0) = 2x_0$，即：
$$\ln(2x_0+a) = 2x_0$$
代入 $x_0$ 的表达式，得到：
$$\ln\left(2\left(\frac{1-a}{2}\right)+a\right) = 1-a$$
化简得：
$$\ln(1+a)=1-a$$
这是一个关于 $a$ 的方程，我们需要解出 $a$。由于 $a>-1$，所以可以通过试图逼近的方法来解方程。例如，我们可以尝试 $a=1$，代入方程得到：
$$\ln(2) = 0$$
显然不成立。我们再尝试 $a=0.5$，代入方程得到：
$$\ln(1.5) = 0.5$$
左右两边的值已经很接近了，因此可以认为 $a=0.5$ 是一个比较接近的解。我们可以使用类似二分法的方法逐步逼近更精确的解。例如，我们可以尝试 $a=0.6$，代入方程得到：
$$\ln(1.6) \approx 0.470$$
这个值比 $1-0.6 = 0.4$ 大，说明 $a=0.6$ 不是方程的解。同理，我们可以尝试 $a=0.55$，代入方程得到：
$$\ln(1.55) \approx 0.425$$
这个值比 $1-0.55 = 0.45$ 小，说明 $a=0.55$ 不是方程的解。因此，我们可以认为 $a$ 的值在 $0.55$ 和 $0.6$ 之间。我们可以继续尝试更精确的值，直到达到满意的精度为止。