Question

12.已知函数f(xg(x)的定义域均为R,且满足f(x-1)-g(3-x)=4,g(x+1)+f(x-3)=6g(x

Answer 1

问：12.已知函数f(xg(x)的定义域均为R,且满足f(x-1)-g(3-x)=4,g(x+1)+f(x-3)=6g(x

答：根据题目中所给的等式：f(x-1)-g(3-x) = 4 (1)g(x+1)+f(x-3) = 6g(x) (2)我们可以将第一条式子整理为：f(x-1) = g(3-x) + 4然后将等式右侧的g(3-x)带入到第二条式子中：g(x+1) + f(x-3) = 6g(x)g(x+1) + (g(-2-x) + 4) = 6g(x) （将f(x-3)替换为g(-2-x) + 4）g(x+1) - 6g(x) = -g(-2-x) - 4 （将等式右侧的两个项换位）接下来，我们可以尝试对式子进一步化简：g(x+2) - 6g(x+1) = -g(-1-x) - 4 （将x替换为x+1）g(x+3) - 6g(x+2) = -g(-2-x) - 4 （将x替换为x+1）又因为题目中已经给出了g(x+1)+f(x-3)=6g(x)，将等式右侧的6g(x)替换为g(x+1)+f(x-3)得到：

答：g(x+1) + f(x-3) = g(x+1) + f(x-3)将f(x-3)替换为g(-2-x) + 4得到：g(x+1) + g(-2-x) + 4 = g(x+1) + g(-2-x) + 4这说明g(x)与g(x+3)之间不存在联系，而且g(x)与g(x+2)和g(x+1)之间的联系仅通过一个常数之差。结合以上的等式可以得到：g(x+3) - g(x+2) = -1/6 (g(x+2) - g(x+1))g(x+2) - g(x+1) = -1/6 (g(x+1) - g(x))

答：接下来，我们可以使用递推法来求解g(x)的表达式：当x = 0 时，根据等式 g(x+1)+f(x-3)=6g(x)，得到 g(1)+f(-3)=6g(0)，即：g(1) + g(-5) + 4 = 6g(0)当x = 1 时，根据等式 g(x+1) - 6g(x) = -g(-2-x) - 4，得到：g(2) - 6g(1) = g(-3) - 4将g(-3)替换为g(-4+1)得到：g(2) - 6g(1) = g(-4) - 4

答：当x = 2 时，根据等式 g(x+1) - 6g(x) = -g(-2-x) - 4，得到：g(3) - 6g(2) = g(-1) - 4将g(-1)替换为g(-4+3)得到：g(3) - 6g(2) = g(-4) - 4将g(2)的表达式（g(2) = -1/6 (g(1) - g(0))）代入上式中得到：g(3) + 1/6 (g(1) - g(0)) - 6(-1/6 (g(1) - g(0)))) = g(-4) - 4化简之后得到：

答：g(3) = 7/6 g(1) - 2/3 g(0) + g(-4) - 4然后我们可以重复以上的方法，用递推公式求得g(x)的表达式，得到：g(x) = 3x - 10/3 + A(-1)^x + B(-1/2)^x其中，A = 1/3 (g(1) + 2g(0) + 4) - g(-4)B = 8/3g(0) + 4g(-4) - g(-3) - g(-5) - 26由此得到f(x)的表达式为：f(x) = g(3-x) + 4f(x) = -3x - 2/3 + A(-1)^(7-x) + B(-1/2)^(7-x)

答：亲，至此，问题得到了解答。