Question

cos^4x的积分

Answer 1

要计算cos^4x的积分，我们可以使用换元法或者利用三角恒等式来简化积分。
1.换元法：
令u=sin（x），则du=cos（x）dx。
将u代入cos^4x的积分得到∫（cos^4x）dx=∫（（1-u^2）^2）du。
展开并合并同类项得到∫（1-2u^2+u^4）du。
对每一项进行积分，得到∫（1-2u^2+u^4）du=u-（2/3）u^3+（1/5）u^5+C，
其中C为常数。
最后，将u代回到原来的变量x，得到积分的最终结果为：
∫（cos^4x）dx=sin（x）-（2/3）sin^3（x）+（1/5）sin^5（x）+C。
2.利用三角恒等式：
利用cos^2x=（1+cos（2x））/2的恒等式，我们可以将cos^4x表示为cos^4x=（1+cos（2x））^2/4.
将其代入积分得到∫（cos^4x）dx=∫（（1+cos（2x））^2/4）dx。
展开并合并同类项得到∫（（1+2cos（2x）+cos^2（2x））/4）dx。
利用cos^2（2x）=（1+cos（4x））/2的恒等式，继续简化，得到∫（（1+2cos（2x）+（1+cos（4x））/2）/4）dx。
展开并合并同类项得到∫（（5/8）+（3/8）cos（2x）+（1/8）cos（4x））dx。
对每一项进行积分，得到∫（（5/8）+（3/8）cos（2x）+（1/8）cos（4x））dx=（5/8）x+（3/16）sin（2x）+（1/32）sin（4x）+C，
其中C为常数。
以上是cos^4x的积分的两种方法，你可以根据自己的喜好选择使用哪种方法来计算。