Question

ln(1+x)的积分怎么求啊?急急！！！

为什么不能直接凑微分

Answer 1

ln(1+x)的积分可以使用换元法求解。
假设令 u=1+x，则有 du/dx=1，dx=du。将 u=1+x 代入 ln(1+x)，得到 ln(u)，所以
∫ln(1+x)dx = ∫ln(u)du = u*ln(u) - u + C
将 u=1+x 代回，则有
∫ln(1+x)dx = (1+x)*ln(1+x) - x + C
这样就求出了 ln(1+x) 的积分。
不能直接凑微分的原因是因为 ln(1+x) 的形式较为复杂，不能很容易地找到一个简单的函数 f(x) 使 ln(1+x) 可以写成 f(x) 的导数形式 df/dx。

Answer 2

直接用分部积分
∫ln(x+1)dx=xln(x+1)-∫xd[ln(x+1)]=xln(x+1)-∫[x/(x+1)]dx=xln(x+1)-∫[1-1/(x+1)]dx
=xln(x+1)-[x-ln(x+1)]+C=(x+1)ln(x+1)-x+C

Answer 3