Question

设f(x)是一次函数，已知f(8)=15,且f（2），f(5),f(4)成等比数列，求f(2)+f(4)+f(6)+...+f(2n)

Answer 1

设f(x)=ax+b
f(2)=2a+b f(5)=5a+b f(4)=4a+b
[f(5)]^2=f(2)×f(4)
(5a+b)^2=(2a+b)(4a+b)
17a^2+4ab=0
又∵f(8)=8a+b=15
解方程得a=0 b=15 或 a=4 b=-17
若f(x)=15
f(2n)=15
f(2)+f(4)+……+f(2n)=15n
若f(x)=4x-17
f(2n)=8n-17
f(2)=8-17=-9
f(2)+f(4)+……+f(2n)=(-9+8n-17)×n/2=n(4n-13)

Answer 2

f（x)=ax+b
f(8)=8a+b=15
f(2)=2a+b
f(5)=5a+b
f(4)=4a+b
f(2)*f(4)=f(5)的平方
(2a+b)(4a+b)=（5a+b)(5a+b)
8a^2+6ab+b^2=25a^2+10ab+b^2
化简：17a+4b=0
又：8a+b=15
所以a=4 b=-17
f（2）=4x-17=4*2-17
f(4)=4*4-17
f(2n)=4*2n-17
等差数列的求和公式还记得啊，最后好像是
4*（2+2n）*n除以2-17n
=（4+4n）*n-17n

Answer 3

设f(x)=kx+b 则f(8)=8k+b=15
又f(2) f(5) f(4)等比
则：[f(5)]^2=25k^2+b^2+1=f(2)×f(4)=(2k+b)(4k+b)
展开：25k^2+b^2+10kb=8k^2+6kb+b^2
可以得出25k^2+10kb=8k^2+6kb再与8k+b=15联立可得两组解（K=4 b=-17）或者（k=0,b=15），当K=0时f(x)为常数函数,故k=4 b=-17
然后f(2)+f(4)+f(6)+...+f(2n),分别代入x=2 4 6 8可得f(2)+...f(2n)是以f(2)为首项,8为公差的等差数列前n项和，
然后代入前n项和公式内计算就行了
sn={[2n[f(2)+f(2n)]}/2=n[f(2)+f(2n)]