Question

抽象代数 群论 作业题，求解答

1、证明：如果G/Z(G)是循环群，其中Z(G)是群G的中心，则G是交换群。

2、环Z/3Z与环Z/6Z的子环2Z/6Z是否同构？请证明。

Answer 1

1、由于G/Z(G)是循环群。不妨设b为该循环群的生成元。则
g+Z(G)=b^k，对于任意g∈G。
则g1g2=(b^k－Z(G))(b^l－Z(G))
=(b^l－Z(G))(b^k－Z(G))=g2g1。
故群G是交换群。
2、是同构的，由于Z/3Z和2Z/6Z都是三个元素的环。因此是同构的。同构映射Z/2Z到2Z/6Z是
[1]－>[2]，[2]－>[4]，[0]－>[0]