Question

请问数学题：判断函数f（x）=x+1/x在（1，+∞）上的单调性，并证明。要解答过程 请高手帮帮忙，谢谢。

Answer 1

设x1>x2>1 则
f(x1)-f(x2)
=(x1-x2)+(1/x1-1/x2)
=(x1-x2)+(x2-x1)/x1x2
=(x1-x2)[1-1/x1x2]
x1>x2>1
所以x1-x2>0 x1x2>1
所以1/x1x2<1
所以(x1-x2)[1-1/x1x2]>0
f(x1)-f(x2)>0
f（x）=x+1/x在（1，+∞）上是增函数

Answer 2

除了楼上的求导，再介绍另一种方法：设x'>x,则x'的范围也在（0,正无穷），用f(x')-f(x) =x'-x+1/x'-1/x=(x'-x)-(x'-x)/xx'=(x'-x)[1-1/x'x]谈论：因为x'-x>0,又因为其取值范围在1到正无穷，所以1/x'x<1, 所以[1-1/x'x]>0, 所以(x'-x)[1-1/x'x]>0,即：f(x')>f(x),所以，该函数在1到正无穷为单调递增

Answer 3

解：单调递增
证明 ：易知f(x)在该区间上恒有意义，设1<x1<x2则
f(x1)-f(x2)=(x1+1/x1)-(x2+1/x1)=x1-x2+1/x1-1/x2=-(x2-x1)+(x2-x1)/(x1x2)=((x2-x1)(1-x1x2))/(x1x2)<0，所以满足增函数的定义……

Answer 4

求导，最简便了

f'（x）=1-1/x*2
临界值f'（1）=1-1/1*2=0
所以，当在（1，+∞），f'（x）=1-1/x*2＞0，即单调递增。