Question

设函数f(x)=x²-1,对任意x∈[2/3,+∞)，f(x/m)-4m²f(x)≤f(x-1)+4f(m)恒成立，则实数m的取值范围

设函数f(x)=x²-1,对任意x∈[2/3,+∞)，f(x/m)-4m²f(x)≤f(x-1)+4f(m)恒成立，则实数m的取值范围

Answer 1

将不等式变形为f(x/m)-4m^2f(x)-f(x-1)-4f(m)<=0
并将函数f(x)=x^2-1代入得
x^2/m^2-1-4m^2(x^2-1)-(x^2-2x)-4(m^2-1)<=0在x>=2/3时恒成立
化简得（1-4m^4-m^2)x^2+2m^2x+3m^2<=0
令g(x)=（1-4m^4-m^2)x^2+2m^2x+3m^2
则，当x>=2/3时，g(x)=（1-4m^4-m^2)x^2+2m^2x+3m^2<=0
当g(x)为直线时，不可能成立
g(x)为抛物线，则开口向下。1-4m^4-m^2<0
下面分情况讨论：
①当对称轴在x=2/3左边时，即-(2m^2)/2(1-4m^4-m^2)<2/3时，
△<=0
②当对称轴在x=2/3右边时，即-(2m^2)/2(1-4m^4-m^2)>=2/3时，
g(2/3)<=0
按上述方法求解即可。

Answer 2

就是把f(x/m)-4m²f(x)≤f(x-1)+4f(m)表示出来，然后整理成一个关于x的一元二次方程，这个方程的系数只含有m一个字母，令方程的二次项系数小于零，△小于等于0，联立两式可求m的取值范围。

Answer 3

我只说哈方法，你把等式化简到左边，再根据抛物线性质，开口向下，△<0.，就可得