Question

已知函数f(x)的定义域为（0，+∞）对定义域内的任意x,y都有f(xy)=f(x)+f（y）,f(2)=1，则f(√2/2)值为___

Answer 1

为了方便起见， 根号2表示为 sqrt(2)

f(2)=f(sqrt(2)*sqrt(2))=f(sqrt(2))+f(sqrt(2))=1;

=> f(sqrt(2))= 1/2; <------------ 结果1

f(1/2)=f((sqrt(2)/2)*(sqrt(2)/2))=f(sqrt(2)/2)+f(sqrt(2)/2)=2*f(sqrt(2)/2); <------------ 结果2

令 x=2*f(sqrt(2)/2)，即x是我们需要求的值。

则 结果2 变为 f(1/2)=2x; <--------- 结果3

x=f(sqrt(2)/2)=f(sqrt(2))+f(1/2)= 1/2 + 2x; <--- 代入结果1 和结果3

则 x=-0.5

即最后的结果为 f(sqrt(2)/2)= -0.5

Answer 2

因为f(1)=f(1×1)=f(1)+f(1)
所以f(1)=0
因为f(2)=f(√2×√2)=f(√2)+f(√2)=1
所以f(√2)=0.5
所以f(1)=f(√2×(√2/2））=f(√2)+f(√2/2)=0
而f(√2)=0.5，所以f(√2/2)=-0.5
刚才有个地方算错了...

Answer 3

f(xy)=f(x)+f（y）
f(2)=2f(√2)=1
所以 f(√2)=1/2

f(1)=2f(1)
f(1)=0

f(1)=f(2)+f(1/2)=0
得 f(1/2)=-1
f(√2/2)=f(√2)+f(1/2)=1/2-1=-1/2

Answer 4

解：∵f(2)=f(1×2)=f(1)+f(2)
∴f(1)=0
∵f(2)=f(√2×√2)=f(√2)+f(√2)=1
∴f(√2)=0.5
∵f(1)=f(√2×(√2/2））=f(√2)+f(√2/2)=0
∴f(√2/2)=-0.5

Answer 5

-1/2

f(xy)=f(x)+f（y） ==> f(xx)=2f(x)
f(x)=f(xx*(1/x))=f(xx)+f(1/x)=2f(x)+f(1/x) ==>f(1/x)=-f(x)
f(xx)=2f(x) ==> f(x)=2f(√x)

f(√2/2)= f(1/2)/2 = -f(2)/2 = -1/2