Question

高一数学解答题已知二次函数f(x)满足f(x+1)+f(x-1)=-2x2+4x. (1) 求f(x)的解析式； (2) 求当x属于[a,a+2]

已知二次函数f(x)满足f(x+1)+f(x-1)=-2x2+4x.
(1) 求f(x)的解析式；
(2) 求当x属于[a,a+2]时，求f(x)的最大值。

Answer 1

感觉题目有误，将条件改为 f(x+1)+f(x-1)=-2x^2+4x,解如下：
设：f(x)=ax^2+bx+c
f(x+1)=a(x+1)^2+b(x+1)+c, f(x-1)=a(x-1)^2+b(x-1)+c
所以f(x+1)+f(x-1)=2ax^2+2bx+2(a+c)
按题目条件，得a=-1,b=2,c=1,
即f(x)=-x^2+2x+1

当x属于[a,a+2]时，
f(x)=-(x-1)^2+2，f(a)=-(a-1)^2+2,f(a+2)=-(a+1)^2+2
当a>1时，max(f(x))=-(a-1)^2+2;
当-1<=a<=1时，max(f(x))=2;
当a<-1时，max(f(x))=-(a+1)^2+2;

Answer 2

设二次函数为f(x)=ax^2+bx+c
f(x+1)+f(x-1)=a[(x+1)^2+(x-1)^2]+b{(x+1)+(x-1)]+2c
=2ax^2+2a+2bx+2(a+c)=-2x2+4x
所以：
2a=-2，a=-1
2b=4，b=2
2(a+c)=0，c=-a=1
所以函数解析式：
f(x)=-x^2+2x+1

f(x)=-(x-1)^2+2，当x=1时有极大值2
x＜1时，单调递增
x＞1时，单调递减

a小于a+2
当a+2≤1,即当a≤-1时，函数单调递增
最大值f(x)max=f(a+2)=-（a+2）^2+2(a+2)+1=-a^2-2a+1

当a＜1＜a+2,即-1＜a＜1时，最大值f(x)max=f(1)=-1+2+1=2

当a≥1时,函数单调递减
最大值f(x)max=f(a)=-a^2+2a+1

Answer 3

设f(x)=ax²+bx+c
f(x+1)=ax²+2ax+a+bx+b+c
=ax²+(2a+b)x+a+b+c
f(x-1)=ax²-2ax+a+bx-b+c
=ax²+(-2a+b)x+a-b+c
f(x+1)＋f(x+1)
=2ax²+2bx+2a+2c
对照系数
2a=-2
2b=4
2a+2c=0
解得a=-1 b=2 c=1
f(x)=-x²+2x+1
（2）图象(抛物线)对称轴为x=1,开口向下, 在(-∞,1)上增,在(1,+∞)减,而x∈[a,a+2] 1.当a<-1:最大值f(a+2)=-a²-2a+1, 2.当-1≤a≤1时:最大值f(1)=2， 3.当a>1:最大值f(a）=-a²+2a+1